Mise fixe ou pourcentage de capital : ce que change vraiment une mise proportionnelle

Deux parieurs partent avec 500 €, choisissent les mêmes paris, et finissent l'année avec des soldes différents. Le seul écart entre eux est la règle de mise : l'un joue 10 € à chaque fois, l'autre 2 % de ce qu'il lui reste. Sur une série courte, la différence se voit à peine. Sur deux cents paris, elle décide de la survie du compte.

La mise fixe peut atteindre zéro, la proportionnelle non

Commençons par la propriété la plus brutale. Avec une mise fixe de 10 € sur un capital de 500 €, cinquante paris perdants consécutifs vident le compte. C'est improbable, mais ce n'est pas le vrai danger : vingt-cinq défaites nettes suffisent à vous amputer de la moitié du capital, et la mise de 10 € représente alors 4 % de ce qui reste au lieu de 2 %. Le risque augmente tout seul, au moment exact où on voudrait qu'il baisse.

Avec une mise de 2 % du capital courant, dix défaites de suite ramènent 500 € à 500 multipliés par 0,98 dix fois, soit 408 €. La mise suivante n'est plus de 10 € mais de 8,17 €. La mise fixe, elle, aurait laissé 400 € et continué à réclamer 10 €. L'écart est faible — huit euros — mais la mécanique est opposée : la proportionnelle décroît en même temps que le capital et ne peut jamais l'épuiser complètement.

L'inverse est vrai aussi, et c'est l'argument qu'on met rarement en avant. Quand la série est favorable, la mise proportionnelle grossit sans décision consciente. Un capital passé de 500 à 800 € fait monter la mise de 10 à 16 €. Beaucoup de parieurs trouvent cela confortable quand ça monte et insupportable quand ça redescend, ce qui les conduit à abandonner la règle au pire moment.

La formule de Kelly, et pourquoi son résultat fait peur

Reste à fixer le pourcentage. La formule de Kelly donne la fraction de capital qui maximise la croissance à long terme quand on connaît sa probabilité de gain. Elle s'écrit : fraction égale b fois p, moins q, le tout divisé par b — où b est le gain net par euro misé (la cote moins 1), p la probabilité de gagner et q celle de perdre.

Un exemple. Vous jouez une cote de 2,50, donc b vaut 1,5, et vous estimez la probabilité réelle à 45 %. Le pari a bien une espérance positive : 0,45 multiplié par 2,50 donne 1,125, soit 12,5 % de rendement attendu. Kelly répond 1,5 fois 0,45 moins 0,55, divisé par 1,5 — c'est-à-dire 0,125 divisé par 1,5, soit 8,3 % du capital. Sur 500 €, cela fait 41 € sur un seul pari.

Quarante et un euros là où l'intuition proposait dix. La formule est juste, elle répond simplement à une question qui n'est pas tout à fait la bonne : elle suppose que vous connaissez p. Or un parieur estime p, et se trompe de plusieurs points.

L'erreur d'estimation coûte plus que la variance

Reprenons le même pari en supposant que votre 45 % était optimiste et que la probabilité réelle est de 38 %. Le rendement attendu devient 0,38 fois 2,50, soit 0,95 : le pari perd 5 centimes par euro. Et vous venez d'y engager 8,3 % de votre capital, une mise calculée pour un avantage qui n'existe pas. Répétez l'opération sur cinquante paris et le compte n'a pas subi un coup de malchance, il a subi une méthode.

D'où la pratique du Kelly fractionné : on applique la moitié, le quart, parfois le cinquième du résultat. Sur notre exemple, un quart de Kelly donne 2,1 % du capital, soit 10,40 € — à peu près ce qu'un parieur prudent aurait choisi sans aucune formule. Le fractionnement divise aussi l'amplitude des baisses, qui est la raison la plus courante d'abandon. Avec Kelly complet, perdre la moitié de son capital à un moment de l'année est un événement banal, pas un accident.

Trois réglages qui comptent plus que le choix de la formule

Plafonnez. Quelle que soit la règle, fixez un maximum absolu par pari — 2 ou 3 % du capital pour un parieur de loisir — et tenez-le même quand une occasion paraît évidente. La sensation d'évidence n'est pas une mesure de probabilité.

Recalculez rarement. Mettre à jour la mise après chaque pari produit des montants mouvants, difficiles à tenir et parfois incompatibles avec les plafonds de mise de l'opérateur. Un recalcul hebdomadaire, ou tous les vingt paris, suffit largement. Arrondissez à l'euro.

Définissez ce qu'est le capital. Un montant déposé une fois, séparé de l'argent du quotidien, et jamais rechargé à la hâte après une mauvaise semaine. Une règle de mise proportionnelle n'a aucun sens si le dénominateur est réalimenté dès qu'il baisse : elle ne fait plus que donner un air méthodique à une suite de dépôts.

Ce qu'aucune règle de mise ne fait

Toute cette arithmétique repose sur une hypothèse : que vos paris aient une espérance positive. Si elle est négative — ce qui est le cas de la grande majorité des parieurs, marge de l'opérateur comprise — aucune règle de mise ne la renverse. La mise proportionnelle ralentit la décroissance et la rend plus lisible ; la mise fixe la rend plus rapide ; Kelly appliqué à un avantage imaginaire l'accélère violemment. Choisir une bonne règle de mise, c'est protéger un avantage, pas le fabriquer.

Le préalable est donc le même qu'avant d'ouvrir une feuille de calcul : plusieurs mois de paris consignés, mise par mise, pour savoir de quel côté du zéro vous vous situez. Sans ce relevé, la question du pourcentage est prématurée — et la réponse la plus honnête reste une mise petite, fixe, et un capital que vous acceptez de perdre en entier.

Sources : Calculs de la rédaction (trajectoires de capital, formule de Kelly appliquée à une cote de 2,50) · J. L. Kelly, « A New Interpretation of Information Rate », Bell System Technical Journal, 1956